Буханцова Елизавета: Новая страница: «Файл:Лб1.jpgФайл:Лб2.jpgФайл:Лб3.jpg {{тестируйте ниже}} '''Модель хищник-жертва Лотки — В…»

2025-12-22T08:16:30Z

Новая страница: «Файл:Лб1.jpg Файл:Лб2.jpg Файл:Лб3.jpg {{тестируйте ниже}} '''Модель хищник-жертва Лотки — В…»

Новая страница

[[Файл:Лб1.jpg]][[Файл:Лб2.jpg]][[Файл:Лб3.jpg]]

{{тестируйте ниже}}
'''Модель хищник-жертва Лотки — Вольтерры''' — система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая динамику биологических систем, в которых взаимодействуют два вида: хищник и жертва. Модель была независимо предложена [[Лотка, Альфред|Альфредом Лоткой]] в 1925 году и [[Вольтерра, Вито|Вито Вольтеррой]] в 1926 году. Она является фундаментальной в математической экологии и теории динамических систем.

TOC

== Математическая модель ==
Классическая модель состоит из двух уравнений, связывающих численность жертв (<math>x(t)</math>) и хищников (<math>y(t)</math>):
<math>\begin{cases}
\dfrac{dx}{dt} = \alpha x - \beta xy, \\
\dfrac{dy}{dt} = \delta xy - \gamma y,
\end{cases}</math>
где:
* <math>\alpha</math> — коэффициент естественного прироста жертв в отсутствие хищников,
* <math>\beta</math> — коэффициент смертности жертв из-за хищников,
* <math>\delta</math> — коэффициент прироста хищников за счёт потребления жертв,
* <math>\gamma</math> — коэффициент естественной смертности хищников.

Система имеет две стационарные (неподвижные) точки:
1. Тривиальная: <math>(0, 0)</math> (оба вида вымирают).
2. Нетривиальная: <math>(x^*, y^*) = \left( \dfrac{\gamma}{\delta}, \dfrac{\alpha}{\beta} \right)</math>.

Поведение системы в окрестности нетривиальной точки описывается [[Предельный цикл|замкнутыми траекториями]] (циклами), что соответствует циклическим колебаниям численности обоих видов.

== Пример численного решения на Python ==
Ниже приведён код для численного интегрирования уравнений с помощью метода Рунге—Кутты и визуализации фазового портрета.
<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp

# Параметры модели: alpha, beta, delta, gamma
params = (1.0, 0.1, 0.075, 0.5)

# Система дифференциальных уравнений
def lotka_volterra(t, z, alpha, beta, delta, gamma):
x, y = z
dxdt = alpha * x - beta * x * y
dydt = delta * x * y - gamma * y
return [dxdt, dydt]

# Начальные условия и время интегрирования
t_span = (0, 100)
t_eval = np.linspace(*t_span, 1000)
initial_conditions = [40, 9] # Начальная численность жертв и хищников

# Решение системы
solution = solve_ivp(lotka_volterra, t_span, initial_conditions,
args=params, t_eval=t_eval, method='RK45')
x, y = solution.y

# Построение графиков
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4))

# Динамика численности во времени
ax1.plot(solution.t, x, label='Жертвы (x)', color='blue')
ax1.plot(solution.t, y, label='Хищники (y)', color='red')
ax1.set_xlabel('Время')
ax1.set_ylabel('Численность')
ax1.set_title('Динамика популяций')
ax1.legend()
ax1.grid(True)

# Фазовый портрет
ax2.plot(x, y, color='green')
ax2.set_xlabel('Численность жертв (x)')
ax2.set_ylabel('Численность хищников (y)')
ax2.set_title('Фазовый портрет системы')
ax2.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()
</syntaxhighlight>

== Химическая аналогия: автокаталитическая реакция ==
Колебания в системе «хищник-жертва» имеют аналоги в химической кинетике, например, в автокаталитических реакциях, таких как [[Реакция Белоусова — Жаботинского|реакция Белоусова—Жаботинского]]. Упрощённо такой процесс можно представить как цепь превращений, где вещество A (жертва) превращается в катализатор B (хищник), который, в свою очередь, расходуется:

<chem>A + 2B -> 3B</chem> (автокаталитическая стадия)
<chem>B -> C</chem> (стадия гибели/дезактивации)

Подобные нелинейные взаимодействия приводят к наблюдаемым колебаниям концентраций реагентов, что с математической точки зрения роднит их с моделью Лотки—Вольтерры.
== Примечания ==
{{примечания}}
<ref name="Lotka1925">{{статья|автор=Lotka, A. J.|заглавие=Elements of Physical Biology|издание=Williams & Wilkins|год=1925|место=Baltimore}}</ref>
<ref name="Volterra1926">{{статья|автор=Volterra, V.|заглавие=Variazioni e fluttuazioni del numero d'individui in specie animali conviventi|издание=Mem. R. Accad. Naz. dei Lincei|год=1926|том=2|страницы=31–113}}</ref>
<ref name="Murray2002">{{книга|автор=Murray, J. D.|заглавие=Mathematical Biology: I. An Introduction|издание=3rd|место=New York|издательство=Springer|год=2002|страницы=63–80}}</ref>

== См. также ==
* [[Динамическая система]]
* [[Теория бифуркаций]]
* [[Уравнение реакции-диффузии]]
* [[Хаотическая динамика]]

== Литература ==
* {{книга|автор=Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П.|заглавие=Динамические системы и модели биологии|место=М.|издательство=Физматлит|год=2010|страницы=97–115}}

[[Категория:Математическая биология]]
[[Категория:Дифференциальные уравнения]]
[[Категория:Динамические системы]]
{{DEFAULTSORT:Лотки - Вольтерры, Модель}}

Wiki Буханцова - История изменений

Буханцова Елизавета: Новая страница: «Файл:Лб1.jpgФайл:Лб2.jpgФайл:Лб3.jpg {{тестируйте ниже}} '''Модель хищник-жертва Лотки — В…»